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[박형주 세상 속 수학] 위상 전성시대

[박형주 세상 속 수학] 위상 전성시대

입력 2016-11-01 18:10
업데이트 2016-11-01 18:23
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박형주 아주대 석좌교수
박형주 아주대 석좌교수
위상(位相)이 뭐지? 일단 고개가 갸우뚱했다면 걱정하지 않아도 된다. 보통 사람의 지극히 정상적인 반응이니까. 10년 전에 수학의 최고상인 필즈상 수상을 거부해 세간의 화제가 됐던 그리고리 페렐만의 업적이 위상수학 분야였다.

최근엔 위상적 빅데이터(TDA)의 성공담이 화제가 됐다. 여배우 앤절리나 졸리가 유방암과 난소암에 걸리지도 않았는데 가슴과 난소 제거 수술을 받은 일을 기억하는가? 자신의 각종 생체 데이터를 측정하고 엄마와 이모의 암 병력까지 고려했더니 미래의 발암 확률이 높다고 계산됐기 때문이다. 당시만 해도 통계적 방식에 의존했지만, 스탠퍼드대학 수학자 구나 칼손이 만든 스타트업 기업 아야스디는 위상수학을 사용한 빅데이터 분석법을 개발해 계산의 정확도를 훨씬 높였다. 같은 방법으로 당뇨병 유형2의 진단과 처방법까지 내놔서 센세이션을 일으켰다.

그러더니 맙소사. 올해의 노벨물리학상이 위상물리학이라는 듣도 보도 못한 분야에 돌아갔다. 이색적인 물질의 위상적 상태 변화를 규명한 업적이다. 너무 생소하고 어려워 보이는 탓일까. 예년보다 관련 보도가 적고 속 시원히 설명해 주는 기사가 안 보인다고 투덜대는 소리도 들린다. 아마도 역사상 가장 수학적인 노벨물리학상인지도 모르겠다.

위상수학은 물체의 모양을 다루는 수학 분야다. 기하학과 뭐가 다르냐고? 외형의 변화와 무관한 물체의 본질이 핵심 질문이다. 진흙을 뭉쳐서 공 모양을 만들자. 이 공을 툭툭 치면 박스 모양으로도, 피라미드 모양으로도 바꿀 수 있다. 위상적으로 이런 모양들은 모두 동등하다. 하지만 이런 부드러운 과정으로 도넛을 만들어 낼 방법은 없다. 손가락을 공 가운데에 찔러서 진흙 일부가 없어지는 걸 무릅써야 도넛이 나온다. 파괴는 본질을 바꾸니 구와 도넛은 위상적으로 다르다. 두 번의 파괴 과정을 거치면 구멍 두 개가 뚫린 도넛이 나온다. 이건 공과도 다르고 보통 도넛과도 위상적으로 다르다.

여기에서 도넛 구멍의 개수는 지너스라고 하는 본질적인 수로서 위상적 불변량의 예다. 공의 지너스는 0이고 도넛의 지너스는 1인데, 진흙을 툭툭 쳐서는 모양의 본질적인 변화가 생기지 않고 따라서 지너스도 안 변한다. 파괴의 과정을 거쳐 구멍을 만들어 내면 지너스가 변하는데, 이는 모양의 본질적인 변화를 의미한다.

위상적 불변량이 물리적 통찰을 표현한다는 관점이 탄생시킨 게 위상물리학이다. 스웨덴 왕립과학원은 “이번 연구는 미지 세계의 문을 연 것이며, 수학과 물리학의 아름다운 연계를 보여 줬다”고 평했다.

보통의 물질은 온도에 따라 고체, 액체, 기체라는 세 가지 상태로 존재한다. 얼음을 가열하면 원자의 운동이 활발해져서 액체가 되고, 더 가열해 원자가 미친 듯이 뛰면 기체가 된다. 그런데 엄청나게 얇은 판은 다르다. 원자 하나 정도의 얇은 판이라면 2차원 물질인데, 가열해도 원자가 맘대로 뛰어다닐 수 없다. 뻔한 2차원 판 위에서 어디로 갈 것인가. 그래서 예전엔 이런 2차원 물질은 상태가 바뀌지 못할 거라고 여겼다. 올해의 노벨물리학상 수상자 3명은 이 견해에 반기를 들었다. 이런 얇은 판에서도 원자의 회전 같은 제한적인 방식을 통해 상태의 변화가 가능하고, 이런 본질적인 상태 변화가 위상적 불변량의 변화로 설명됨을 보인 것이다.

추상적으로 보이기만 하던 위상수학이 이곳저곳에서 튀어나오는 걸 보니 신기하다고? 수학 밖으로 나다니는 위상수학을 지켜보는 수학자들은 더 놀라는 중이다.
2016-11-02 30면

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